Estadistica: DISTRIBUCION BINOMIAL

Distribución binomial
Función de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$n \geq 0$ número de ensayos (entero) $0\leq p \leq 1$ probabilidad de éxito (real)
Dominio	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Función de probabilidad (fp)	${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!$
Función de distribución (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Media	$np\!$
Mediana	Uno de $\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}$ ^[1]
Moda	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Varianza	$np(1-p)\!$
Coeficiente de simetría	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!$
Curtosis	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!$
Entropía	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Función generadora de momentos (mgf)	$(1-p + pe^t)^n \!$
Función característica	$(1-p + pe^{it})^n \!$

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

$X \sim B(n, p)\,$

Ejemplos

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

Se lanza un dado 10 veces y se cuenta el número 3 obtenidos: X ~ B(10, 1/6)
Se lanza una moneda 2 veces y se cuenta el numero de caras obtenidas.
Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse hacia atrás y 1-q de moverse hacia adelante

Experimento Binomial

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Este tipo de experiencias se caracteriza por estar formada por un número predeterminado n de experimentos iguales. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se nota B(n,p).

Características analíticas

Su función de probabilidad es

$\!f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!$

donde $x = \{0, 1, 2, \dots , n\},$
siendo $\!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\!$ las combinaciones de $n \,\!$ en $x \,\!$ ( $n \,\!$ elementos tomados de $x \,\!$ en $x \,\!$ )

Propiedades características

$\mathbb{E}[X] = np\,$

$\text{Var}[X] =np(1-p)\,$

Relaciones con otras variables aleatorias

n

tiende a infinito y

p

es tal que producto entre ambos parámetros tiende a $\lambda \,\!$ , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro

λ

.
Por último, se cumple que cuando n es muy grande (usualmente se exige que $n \geq 30$ ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.

Propiedades reproductivas

Dadas n variables binomiales independientes, de parámetros n_i (i = 1, ..., n) y

p

, su suma es también una variable binomial, de parámetros n₁+ ... + n_n, y

p

, es decir,

$Y = \sum^{n}_{i = 1} X_i \sim B(\sum^{n}_{i = 1} n_i, p)\,$

Estadistica

sábado, 25 de septiembre de 2010

DISTRIBUCION BINOMIAL